Семинар Отдела динамических систем
17 мая 2000 года (среда), 1430



Игровая задача о брахистохроне

Камнева Л.В.



Классическая задача о брахистохроне (кривой наискорейшего спуска материальной точки под действием силы тяжести из начального положения в конечное), рассматриваемая как задача управления, допускает обобщение до игровой постановки путем введения помехи, влияющей на динамику материальной точки. Помеху можно считать вторым игроком, цель которого увеличить время попадания на заданное терминальное множество.

Постановка задачи предложена Р.Айзексом в книге "Дифференциальные игры". В рассмотренном Р.Айзексом варианте функция цены игры является дифференцируемой в области разрешимости задачи.

В докладе будут приведены основные результаты аналитического и численного исследования одного из вариантов игровой задачи о брахистохроне в котором функция цены не удовлетворяет свойству дифференцируемости. Динамика объекта с учетом помехи имеет вид

$\displaystyle \dot{x}$ = $\displaystyle \sqrt{y}$u1,  
$\displaystyle \dot{y}$ = $\displaystyle \sqrt{y}$u2 + v.  

Здесь u1, u2 - управляющие параметры первого игрока, u = (u1, u2) $ \in$ P = {(u1, u2) $ \in$ R2 : u12 + u22$ \le$1}; v - скалярное управление второго игрока; v $ \in$ Q = {v $ \in$ R : | v|$ \le$w}, w > 0; N = {(x, y) $ \in$ R2 : y$ \ge$0} - пространство игры; M = [- d, 0] x [0, h], - терминальное множество, d, h > 0.

Задача изучалась на основе методики Р. Айзекса. В некоторой области решение (т.е. цена игры) описывается явными формулами, в целом получена качественная картина решения. Решение определяется двумя сингулярными линиями. Описана граница области разрешимости.

Разработан алгоритм численного построения сингулярных линий, с помощью которого исследован характер изменения сингулярных линий в зависимости от соотношений между параметрами задачи.