Семинар Отдела динамических систем
ИММ УрО РАН
17.02.2016
Игры среднего поля — молодое направление теории управления, возникшее в работах Lasry, Lions и Huang, Caines, Malhame в 2006. Игры среднего поля исследуют системы многих "слабых" агентов на основе анализа предельной системы, когда количество игроков бесконечно. При этом возникает задача исследования взаимодействия индивидуума и общества. Индивидуум максимизирует свою функцию выигрыша с учетом состояния общества, при этом динамика общества формируется за счет поведения всех индивидуумов.
Эти соображения формализуются в виде системы двух уравнений в частных производных: первое уравнение — уравнение Гамильтона-Якоби на функцию результата индивидуума (предполагаются, что функция результата зависит лишь от времени и положения агента), второе уравнение — кинетическое уравнение, описывающие распределение игроков.
В настоящее время в основном изучены игры среднего поля второго порядка (в этом случае динамика каждого агента описывается стохастическим дифференциальным уравнением).
Доклад посвящен детерминированными играм среднего поля. Предлагается определение решения системы уравнений для игр среднего поля, основанное на минимаксном подходе к уравнениям Гамильтона-Якоби. Для предложенного обобщенного решения системы уравнений для детерминированной игры среднего поля справедлива теорема существования. В то же время имеются примеры неединственности, что соответствует неединственности равновесия по Нэшу в теории игр с конечным числом игроков.
Также в работе рассматривается подход, основанный на анализе отображения, которое каждому моменту времени и начальному распределению игроков ставит в соответствие множество непрерывных функций позиции. Значение функции в заданной позиции равно выигрышу игрока, начавшему свое движение в данной позиции. Подобное отображение можно назвать мультифункцией цены. Найдены условия, аналогичные условиями типа стабильности, на мультифункцию цены, указана связь между мультифункцией цены и системой уравнений для детерминированной игры среднего поля.
Заключительная часть доклада посвящена построению приближенного равновесия по Нэшу в игре большого, но конечного числа игроков на основе решения системы уравнений для детерминированной игры среднего поля.