Семинар Отдела динамических систем
ИММ УрО РАН
30.01.2019
Хорошо известно, что интегрируемое уравнение, как правило, допускает представление Лакса, т.е. является условием совместности двух систем линейных уравнений, образующих пару Лакса. Представление Лакса является эффективным средством изучения нелинейных уравнений, позволяющим находить интегралы движения, высшие симметрии, точные и асимптотические решения и т.д. В литературе имеются различные подходы и методы поиска пар Лакса, от классических, таких как метод одевания по Захарову – Шабату и метод продолжения Уолквиста – Эстабрука до более поздних. В рамках этих подходов были найдены пары Лакса для очень важных классов интегрируемых моделей. Однако проблема эффективного алгоритма построения пары Лакса, пригодного для произвольного заданного интегрируемого уравнения, долгое время оставалась неизученной. В диссертации рассматривается новый подход к решению этой проблемы. Суть этого подхода состоит в следующем. Для заданного интегрируемого уравнения в частных производных в качестве первого уравнения пары Лакса мы берем линеаризованное уравнение. Далее мы приписываем к линеаризованному уравнению обыкновенное дифференциальное уравнение, совместное с ним на любом решении исходного нелинейного уравнения. Это ОДУ можно выбрать так, что оно и будет вторым уравнением пары Лакса. Получившаяся пара Лакса является предварительной, но как показывают примеры подходящими преобразованиями из него можно получить настоящую пару Лакса. Эффективность данного метода построения пары Лакса подтверждена многочисленными примерами. В наших работах при помощи этого метода построены пары Лакса для нескольких уравнений, для которых пары Лакса ранее не были известны.